Решение №1450 В трапеции KLMT LM || KT, KL = MT, диагональ МК = 8 и ∠MKT = 75°.

В трапеции KLMT LM || KT, KL = MT, диагональ МК = 8 и ∠MKT = 75°. Найдите площадь трапеции.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

KL = MT, значит трапеция KLMT равнобедренная, построим её и две высоты:

Площадь равнобедренной трапеции, можно найти как площадь прямоугольника, если мысленно перенести ΔMOT.

S_KLMT = KO·MO

Каждую из этих сторон выразим из прямоугольного ΔКМО:

$sin\, 75^{\circ}=\frac{MO}{KM}$

$sin\, 75^{\circ}=\frac{MO}{8}$

MO = 8·sin 75°

$cos\, 75^{\circ}=\frac{KO}{KM}$

$cos\, 75^{\circ}=\frac{KO}{8}$

KO = 8·cos 75°

Найдём площадь трапеции:

S_KLMT = 8·cos 75°·8·sin 75° = 32·2·cos 75°·sin 75° = 32·sin 2·75° = 32·sin 2·75° = 32·sin 150° = 32·sin (180 – 30°) = 32·sin 30° = 32·½ = 16

Ответ: 16.