Решение №1397 В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1.

В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее объем равен 3.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

Изобразим треугольную пирамиду АВСS и вписанную в неё сферу с центром О:

S_{пол.пов.} = S_ABC + S_ASC + S_BSC + S_ASB

Объём треугольной пирамиды это сумма объёмов 4-х меньших треугольных пирамид, с вершинами в точке О и основаниями, которые являются гранями исходной пирамиды, а их высоты это радиус сферы:

V_ABCS = V_ABCO + V_ASCO + V_BSCO + V_ASBO

V_ABCS = $\frac{1}{3}$ ·R·S_ABC + $\frac{1}{3}$ ·R·S_ASC + $\frac{1}{3}$ ·R·S_BSC + $\frac{1}{3}$ ·R·S_ASB

V_ABCS = $\frac{1}{3}$ ·R·(S_ABC + S_ASC + S_BSC + S_ASB)

V_ABCS = $\frac{1}{3}$ ·R·S_{пол.пов.}

По условию объём большой треугольной пирамиды равен 3, а радиус сферы равен 1, подставим:

3 = $\frac{1}{3}$ ·1·S_{пол.пов.}

3 = $\frac{1}{3}$ ·S_{пол.пов.}

S_{пол.пов.} = 3·3 = 9

Ответ: 9.