В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее объем равен 3.
Источник задания: alexlarin.net
Решение:
Изобразим треугольную пирамиду АВСS и вписанную в неё сферу с центром О:
Sпол.пов. = SABC + SASC + SBSC + SASB
Объём треугольной пирамиды это сумма объёмов 4-х меньших треугольных пирамид, с вершинами в точке О и основаниями, которые являются гранями исходной пирамиды, а их высоты это радиус сферы:
VABCS = VABCO + VASCO + VBSCO + VASBO
VABCS = ·R·SABC +
·R·SASC +
·R·SBSC +
·R·SASB
VABCS = ·R·(SABC + SASC + SBSC + SASB)
VABCS = ·R·Sпол.пов.
По условию объём большой треугольной пирамиды равен 3, а радиус сферы равен 1, подставим:
3 = ·1·Sпол.пов.
3 = ·Sпол.пов.
Sпол.пов. = 3·3 = 9
Ответ: 9.