В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее объем равен 3.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

    Изобразим треугольную пирамиду АВСS и вписанную в неё сферу с центром О:

В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1.

Sпол.пов. = SABC + SASC  + SBSC + SASB

    Объём треугольной пирамиды это сумма объёмов 4-х меньших треугольных пирамид, с вершинами в точке О и основаниями, которые являются гранями исходной пирамиды, а их высоты это радиус сферы:

VABCS = VABCO + VASCO + VBSCO + VASBO

VABCS = ·R·SABC + ·R·SASC  + ·R·SBSC + ·R·SASB

VABCS = ·R·(SABC + SASC  + SBSC + SASB)

VABCS = ·R·Sпол.пов.

    По условию объём большой треугольной пирамиды равен 3, а радиус сферы равен 1, подставим:

3 = ·1·Sпол.пов.

3 = ·Sпол.пов.

Sпол.пов. = 3·3 = 9 

Ответ: 9.

  • Рубрика записиЕГЭ Ларин