Решение №1061 Найдите наименьшее значение функции y = (5x^2+2)/(3x^2+20)+(3x^2+20)/(5x^2+2)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [–1;4]

Решение:

Обозначим $u=\frac{5x^{2}+2}{3x^{2}+20}$ , тогда $\frac{3x^{2}+20}{5x^{2}+2}=\frac{1}{u}$ .

$y=u+\frac{1}{u}$

Найдём производную функции:

$y^{′}=1-\frac{1}{u^{2}}$

Найдём нули производной:

$1-\frac{1}{u^{2}}=0\\\frac{u^{2}-1}{u^{2}}=0$

u ≠ 0
u₁ = 1
u₂ = –1

Наименьшее значение будет в точке минимума х = 1.

$y(1)=1+\frac{1}{1}=2$

Ответ: 2.