Решение №2525 Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго на шестой ...

Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго на шестой, шестого на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.

Источник: РТ 2022 1 этап

Решение:

Дана арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ …, её разность не равна 0, d ≠ 0.
По условию задачи, существует геометрическая прогрессия: а₁·а₂, а₂·a₆, a₆·a₁. Её знаменатель q можно выразить следующими способами:

$q=\frac{a_{2}\cdot a_{6}}{a_{1}\cdot a_{2}}=\frac{a_{6}}{a_{1}}$

$q=\frac{a_{6}\cdot a_{1}}{a_{2}\cdot a_{6}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}$

Приравняем знаменатели q:

$\frac{a_{6}}{a_{1}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}$

а₁² = а₆·а₂

Выразим а₂ и а₆, через а₁ по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d(n – 1)
a₂ = a₁ + d(2 – 1) = a₁ + d
a₆ = a₁ + d(6 – 1) = a₁ + 5d

Тогда:

а₁² = а₆·а₂
а₁² = (a₁ + 5d)·(a₁ + d)
а₁² = а₁² + а₁d + 5a₁d + 5d²
6a₁d + 5d² = 0
d·(6a₁ + 5d) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0, по условию d ≠ 0, тогда:

6a¹ + 5d = 0
5d = –6a₁

$d=\frac{-6a_{1}}{5}$

Найдём q:

$q=\frac{a_{6}}{a_{1}}=\frac{a_{1}+5d}{a_{1}}=\frac{a_{1}+5\frac{-6a_{1}}{5}}{a_{1}}=\frac{a_{1}-6a_{1}}{a_{1}}=\frac{-5a_{1}}{a_{1}}=-5$

Ответ: –5.