Решение №2524 Два ризографа, работая вместе, выполняют работу за 15 мин.

Два ризографа, работая вместе, выполняют работу за 15 мин. Первый ризограф, работая один, выполняет эту работу на 16 мин быстрее второго. За сколько минут выполняет эту работу второй ризограф, работая один?

Источник: РТ 2022 1 этап

Решение:

Пусть работая один, второй ризограф выполняет работу за х минут, а первый на 16 минут быстрее, т.е. за х – 16 минут.
Обозначим всю работу как 1.
Производительность двух ризографов работая вместе равна:

$\frac{1}{15}$

Производительность второго ризографа:

$\frac{1}{x}$

Производительность первого ризографа:

$\frac{1}{x-16}$

Составим уравнение:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-16}=\frac{1}{15}$

$\frac{1\cdot (x-16)+1\cdot x}{x^{2}-16x}=\frac{1}{15}$

$\frac{x-16+x}{x^{2}-16x}=\frac{1}{15}$

$\frac{2x-16}{x^{2}-16x}=\frac{1}{15}$

15·(2x – 16) = 1·(x² – 16x)
30x – 240 = x² – 16x
–x² + 16x + 30x – 240 = 0
–x² + 46x – 240 = 0
D = 46² – 4·(–1)·(–240) = 1156 = 34²

$x_{1}=\frac{-46+34}{2\cdot (-1)}=\frac{-12}{-2}=6$

$x_{2}=\frac{-46-34}{2\cdot (-1)}=\frac{-80}{-2}=40$

Если второй ризограф выполняет работу за 6 минут, то первый ризограф за 6 – 16 = –10 минут, отрицательное время, такого быть не может.
Значит, второй ризограф, работая один, выполняет работу за 40 минут.

Ответ: 40.