Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30 + 15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Источник: statgrad
Решение:
Радиус будем находить через площадь треугольника:
SΔ = pr
Катеты треугольника АВС равны:
АС = ВС = 30 + 15√2 = 15·(2 + √2)
По теореме Пифагора в прямоугольном ΔАВС, найдём гипотенузу АВ:
| AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(15\cdot (2+\sqrt{2}))^{2}+(15\cdot (2+\sqrt{2}))^{2}}=\sqrt{2\cdot (15\cdot (2+\sqrt{2}))^{2}}=\sqrt{2}\cdot 15\cdot (2+\sqrt{2})=15\cdot (2\sqrt{2}+\sqrt{4})=15\cdot 2\cdot (\sqrt{2}+1)=30\cdot (\sqrt{2}+1) |
Найдём полупериметр ΔАВС:
| p=\frac{P}{2}=\frac{15\cdot (2+\sqrt{2})+15\cdot (2+\sqrt{2})+30\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=\frac{30\cdot (2+\sqrt{2})+30\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=15\cdot (2+\sqrt{2}+1+\sqrt{2})=15(3+2\sqrt{2}) |
Найдём площадь ΔАВС:
| S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot (2+\sqrt{2})\cdot 15\cdot (2+\sqrt{2})=\frac{1}{2}\cdot (15\cdot (2+\sqrt{2}))^{2} |
Найдём радиус:
| S_{\Delta}=S_{\Delta}\\\frac{1}{2}ah=pr\\\frac{1}{2}\cdot (15\cdot (2+\sqrt{2}))^{2}=15\cdot (3+2\sqrt{2})\cdot r\\\frac{1}{2}\cdot 15^{2}\cdot (4+4\sqrt{2}+2)=15\cdot (3+2\sqrt{2})\cdot r\:{\color{Blue} |: 15}\\\frac{1}{2}\cdot 15\cdot (6+4\sqrt{2})=(3+2\sqrt{2})\cdot r\\\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 2\cdot (3+2\sqrt{2})=(3+2\sqrt{2})\cdot r\:{\color{Blue} |: (3+2\sqrt{2})}\\r=15 |
Ответ: 15.