Решение №3812 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, BC = 5, cosA=2√6/5.

Решение:

    Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{2\sqrt{6}\cdot x}{5\cdot x}

    В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём х, а тогда и стороны треугольника:

АС² + СВ² = АВ²
(2√6·х)² + 5² = (5·х)²
24х² + 25 = 25х²
25 = х²
х = √25 = 5

    Найдём стороны треугольника:

АС = 2√6·х = 2√6·5 = 10√6
АВ = 5·х = 5·5 = 25

    Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

cosA=sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}

    По основному тригонометрическому тождеству:

sin²B + cos²B = 1
(\frac{2\sqrt{6}}{5})^{2}+cos^{2}B=1\\\frac{24}{25}+cos^{2}B=1\\cos^{2}B=1-\frac{24}{25}\\cos^{2}B=\frac{1}{25}\\cosB=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}

    В ΔСВН найдём НВ:

cosB=\frac{HB}{CB}\\\frac{1}{5}=\frac{HB}{5}\\HB=1

    Найдём длину отрезка АН:

АН = АВ – НВ = 25 – 1 = 24

Ответ: 24.