В прямоугольном треугольнике катет АВ и гипотенуза АС равны 5 и 5√17 соответственно. К биссектрисе BL угла АВС проведён перпендикуляр СH. Найдите площадь треугольника СLН.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём катет СВ:
СВ2 + АВ2 = АС2
СВ2 + 52 = (5√17)2
СВ2 + 25 = 425
СВ2 = 425 – 25
СВ2 = 400
СВ = √400
СВ = 20
ВL биссектриса прямого угла В, делит его на два равных угла:
∠НВС = ∠НВА = 90°/2 = 45°
Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном ΔВНС найдём третий угол ∠НСВ:
∠НСВ = 180° – ∠НВС – ∠СНВ = 180° – 45° – 90° = 45°
Значит треугольник ΔСНВ прямоугольный и равнобедренный, боковые стороны равны СН = ВН. Найдём по теореме Пифагора их значения:
СН2 + ВН2 = СВ2
СН2 + СН2 = 202
2СН2 = 400
СН2 = 400/2
СН2 = 200
СН = √200
ВН = √200
Площадь ΔАВС равна сумме площадей треугольников ΔВLC и ΔВLA. Выразим их площади и найдём длину биссектрисы ВL:
| S_{\Delta ABC}=S_{\Delta BLC}+S_{\Delta BLA}\\\frac{1}{2}\cdot CB\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot CB\cdot BL\cdot sin\angle CBL +\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BL\cdot sin\angle ABL\\\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 5=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot BL\cdot sin45^{\circ } +\frac{1}{2}\cdot 5\cdot BL\cdot sin45^{\circ }\:{\color{Blue} |\cdot 2}\\20\cdot 5=20\cdot BL\cdot sin45^{\circ } +5\cdot BL\cdot sin45^{\circ } \\100=25\cdot BL\cdot sin45^{\circ }\\100=25\cdot BL\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\:{\color{Blue} |: 25}\\4=BL\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\:{\color{Blue} |\cdot 2}\\8=\sqrt{2} \cdot BL\\BL=\frac{8}{\sqrt{2}} |
Получили, что ВH > BL, значит точка Н находится за точкой L, дальше на биссектрисе, а не как в данном решении на схематичном рисунке. Поэтому, что бы найти НL нужно вычитать не BL из ВН, а наоборот ВН из BL:
HL = BH – BL= \sqrt{200}-\frac{8}{\sqrt{2}}
Найдите площадь ΔСLН:
| S_{\Delta CLH}=\frac{1}{2}\cdot HL\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{200}-\frac{8}{\sqrt{2}}) \cdot \sqrt{200}=\frac{\sqrt{200}^{2}}{2}-\frac{8\sqrt{200}}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{200}{2}-\frac{4\sqrt{100\cdot 2}}{ \sqrt{2}}=100-\frac{4\cdot 10\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100-40=60 |
Ответ: 60.