В прямоугольном треугольнике катет АВ и гипотенуза АС равны 15 и 3√41 соответственно. К биссектрисе BL угла АВС проведён перпендикуляр СH. Найдите площадь треугольника СНL.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём катет СВ:
СВ2 + АВ2 = АС2
СВ2 + 152 = (3√41)2
СВ2 + 225 = 369
СВ2 = 369 – 225
СВ2 = 144
СВ = √144
СВ = 12
ВL биссектриса прямого угла В, делит его на два равных угла:
∠НВС = ∠НВА = 90°/2 = 45°
Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном ΔВНС найдём третий угол ∠НСВ:
∠НСВ = 180° – ∠НВС – ∠СНВ = 180° – 45° – 90° = 45°
Значит треугольник ΔСНВ прямоугольный и равнобедренный, боковые стороны равны СН = ВН. Найдём по теореме Пифагора их значения:
СН2 + ВН2 = СВ2
СН2 + СН2 = 122
2СН2 = 144
СН2 = 144/2
СН2 = 72
СН = √72
ВН = √72
Площадь ΔАВС равна сумме площадей треугольников ΔВLC и ΔВLA. Выразим их площади и найдём длину биссектрисы ВL:
| S_{\Delta ABC}=S_{\Delta BLC}+S_{\Delta BLA}\\\frac{1}{2}\cdot CB\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot CB\cdot BL\cdot sin\angle CBL +\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BL\cdot sin\angle ABL\\\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot BL\cdot sin45^{\circ } +\frac{1}{2}\cdot 15\cdot BL\cdot sin45^{\circ }\:{\color{Blue} |\cdot 2}\\12\cdot 15=12\cdot BL\cdot sin45^{\circ } +15\cdot BL\cdot sin45^{\circ } \\180=27\cdot BL\cdot sin45^{\circ }\\180=27\cdot BL\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\:{\color{Blue} |: 9}\\20=3\cdot BL\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\:{\color{Blue} |\cdot 2}\\40=3\sqrt{2} \cdot BL\\BL=\frac{40}{3\sqrt{2}} |
Найдём НL:
HL = BL – BH = \frac{40}{3\sqrt{2}}-\sqrt{72}
Найдите площадь ΔСНL:
| S_{\Delta CHL}=\frac{1}{2}\cdot HL\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (\frac{40}{3\sqrt{2}}-\sqrt{72}) \cdot \sqrt{72}=\frac{40\sqrt{72}}{2\cdot 3\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{72}^{2}}{2}=\frac{20\sqrt{36\cdot 2}}{ 3\sqrt{2}}-\frac{72}{2}=\frac{20\cdot 6\cdot \sqrt{2}}{ 3\sqrt{2}}-36=40-36=4 |
Ответ: 4.