Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках К и N соответственно. Найдите длину отрезка KN, если AD = 45, ВС = 15, CN = 12, ND = 18.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает отрезок KN в точке О:
Найдём сторону СD:
СD = CN + DN = 12 + 18 = 30
ΔBDC подобен ΔОND по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OND – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОN:
\frac{BC}{ON}=\frac{CD}{ND}\\\frac{15}{ON}=\frac{30}{18}\\\frac{15}{ON}=\frac{5}{3}\\ON=\frac{15\cdot 3}{5}=9
Прямая KN||AD, KN||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях, что и сторону СD:
\frac{AB}{BK}=\frac{CD}{CN}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}
ΔABD подобен ΔKBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠BKO – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОK:
\frac{AD}{OK}=\frac{AB}{BK}\\\frac{45}{OK}=\frac{5}{2}\\\frac{45}{OK}=\frac{5}{2}\\OK=\frac{45\cdot 2}{5}=18
Найдём KN:
KN = ON + OK = 9 + 18 = 27
Ответ: 27.