Постройте график функции у = х2 – 2х – |x2 – 4| – 3 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
| y=x^{2} – 2x – |x^{2} – 4| – 3=\begin{cases} x^{2} – 2x – (+(x^{2} – 4)) – 3,\color{Blue} (x^{2} – 4)\ge 0 \\ x^{2} – 2x – (-(x^{2} – 4)) – 3,\color{Blue} (x^{2} – 4)\lt 0\end{cases}=\begin{cases} x^{2} – 2x – x^{2} + 4 – 3,\color{Blue} x^{2}\ge 4 \\ x^{2} – 2x +x^{2} – 4 – 3,\color{Blue} x^{2}\lt 4\end{cases}=\begin{cases} – 2x + 1,\color{Blue} x\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty) \\ 2x^{2} – 2x – 7,\color{Blue} x\in (-2 ;2)\end{cases} |
Прямая:
y1 = –2x + 1, x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞)
| x | 0 | –2 | 2 | 3 |
| y | 1 | 5 | –3 | –5 |
Парабола:
y2 = 2x2 – 2x – 7, x ∈ (–2; 2), ветви направлены вверх;
Найдём координаты вершины параболы:
x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5
y2,верш (0,5) = 2·0,52 – 2·0,5 – 7 = –7,5
(0,5; –7,5) – вершина параболы
| x | –1 | 0 | 1 |
| y | –3 | –7 | –7 |
Ответ: –7,5; –3.