Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
х – скорость лодки в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 5 км/ч, проплыл 30 км. Найдём время плота:
30/5 = 6 часов
Лодка отправилась в путь на 1 час позже, значит в пути она была:
6 – 1 = 5 часов
Лодка проплыла по течению 60 км, со скоростью х + 5 км/ч и против течения 60 км со скоростью х – 5 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{60}{x+5}, а на путь против течения \frac{60}{x–5}. Зная что всего лодка была в пути 5 часов, составим уравнение:
\frac{60}{x+5}+\frac{60}{x–5}=5
\frac{60\cdot (x–5)+60\cdot (x+5)}{(x+5)\cdot (x–5)}=5
\frac{60\cdot (x–5+x+5)}{x^{2}–25}=5
\frac{60\cdot 2x}{x^{2}–25}=5
5·(x2 – 25) = 120x
5x2 – 120x – 125 = 0 |:5
x2 – 24x – 25 = 0
D = (–24)2 – 4·1·(–25) = 676 = 262
x_{1}=\frac{24–26}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=-1{\color{Blue} < 0\notin }
x_{2}=\frac{24+26}{2\cdot 1}=\frac{50}{2}=25
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 25, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 25.