Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30 000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?
Решение:
Задача на геометрическую прогрессию, формула есть в справочных материалах ОГЭ.
b1 = 2 – набрано очков за первую минуту;
b2 = 4 – набрано очков за вторую минуту;
b3 = 8 – набрано очков за третью минуту;
q = 2 – знаменатель, очки увеличиваются каждый раз в два раза;
Нужно найти после какой минуты сумма очков станет больше, чем 30000.
По формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_{n}=\frac{(q^{n}–1)\cdot b_{1}}{q–1}\\30000\lt \frac{(2^{n}–1)\cdot 2}{2–1}\\30000\lt \frac{(2^{n}–1)\cdot 2}{1}\\30000\lt(2^{n}–1)\cdot 2 {\color{Blue} |: 2}\\15000\lt 2^{n}–1\\15001\lt 2^{n}
Осталось подобрать n, из информатики знаем, что 210 = 1024, тогда:
211 = 1024·2 = 2048
212 = 2048·2 = 4096
213 = 4096·2 = 8192
214 = 8192·2 = 16384
16384 > 15001, значит Митя перейдёт на следующий уровень через 14 минут.
Ответ: 14.