Решение №5101 Найдите точку минимума функции y = (x + 13)^2*e^(6 – x).

Решение:

y = (x + 13)²·e^{6 – x}

    Найдем производную функции:

    y′ = ((x + 13)²)′·e^6–x + (x + 13)²·(e^6–x)′ = 2(x + 13)·e^6–x + (x + 13)²·(–e^6–x) = e^6–x ·(2(x + 13) – (x + 13)²) = e^6–x·(–x² – 24x – 143)

    Найдем нули производной:

e^6–x·(–x² – 24x – 143) = 0
e^6–x > 0 всегда
–x² – 24x – 143 = 0 |·(–1)
x² + 24x + 143 = 0

    Через дискриминант находим корни уравнения:

х₁ = –13
х₂ = –11

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума: х = –13.

Ответ: –13.