Решение №3090 Найдите наименьшее значение функции y = x√x − 27x + 6 на отрезке [1; 422].

Решение:

y=x\sqrt{x}-27x+6= x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}}-27x+6 = x^{1+\frac{1}{2}}-27x+6=x^{\frac{3}{2}}-27x+6
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(x^{\frac{3}{2}}-27x+6)′=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}-27=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-27=\frac{3}{2}\sqrt{x}-27

    Найдем нули производной:

\frac{3}{2}\sqrt{x}-27=0 \\\frac{3}{2}\sqrt{x}=27
√x = \frac{27\cdot 2}{3}=18 |²
x = 324 ∈ [1; 422]

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [1; 422] из условия:

    Точка минимума х = 324, там и будет наименьшее значение функции на отрезке [1; 422]:

y(324) = 324·√324 − 27·324 + 6 = 324·18 − 27·324 + 6  = 324·(18 – 27) + 6 = 324·(–9) + 6 = –2910

    Наименьшее значение функции равно –2910.

Ответ: –2910.