Решение №2302 Найдите наименьшее значение функции y = 4/3x√x – 3x + 9 на отрезке [0,25; 30]

Решение:

y = \frac{4}{3}x√x – 3x + 9 = \frac{4}{3}· x¹·x^\frac{1}{2} – 3x + 9=\frac{4}{3}· x^{1+\frac{1}{2}} – 3x + 9 =\frac{4}{3}· x^\frac{3}{2} – 3x + 9
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}– 3x + 9)′=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}-3=2\cdot x^{\frac{1}{2}}-3=2\sqrt{x}-3

    Найдем нули производной:

2\sqrt{x}-3=0\\2\sqrt{x}=3\\\sqrt{x}=\frac{3}{2}{\color{Blue} |^{2}}\\x=\frac{9}{4}

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [0,25; 30] из условия:

    Точка минимума х = \frac{9}{4}, там и будет наименьшее значение функции на отрезке [0,25; 30]:

y(\frac{9}{4})=\frac{4}{3}\cdot \frac{9}{4}\cdot \sqrt{\frac{9}{4}}-3\cdot \frac{9}{4}+9=\frac{9}{2}-\frac{27}{4}+9=\frac{18-27+36}{4}=\frac{27}{4}=6,75

Ответ: 6,75.