Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Ященко ЕГЭп 2025 (36 вар.)
Решение:
Найдём время в пути плота:
38/2 = 19 часов
Яхта отправилась на 1 час позже, т.е. её время:
19 – 1 = 18 часов
Пусть скорость яхты х. Тогда скорость яхты по течению реки x + 2 км/ч, а против течения x – 2 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{160}{x+2} часов, а на путь против течения \frac{160}{x–2} часов. Зная что всего яхта была в пути 18 часов, составим уравнение:
\frac{160}{x+2}+\frac{160}{x–2}=18\:{\color{Blue} |: 2}\\\frac{80}{x+2}+\frac{80}{x–2}=9\\\frac{80\cdot (x–2)+80\cdot (x+2)}{(x+2)(x–2)}=9\\\frac{80x+80x}{x^{2}–2^{2}}=9\\\frac{160x}{x^{2}–4}=9\\(x^{2}–4)\cdot 9=160x\\9x^{2}-160x-36=0
D = (–160)2 – 4·9·(–36) = 26896 = 1642
x_{1}=\frac{160+164}{2\cdot 9}=\frac{324}{18}=18\\x_{2}=\frac{160–164}{2\cdot 9}=\frac{–4}{18}=-\frac{2}{9}
Скорость яхты может быть только положительна, выбираем 18 км/ч.
Ответ: 18.