Расстояние между городами A и B равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Источник: statgrad
Решение:
Обозначим за S расстояние от А до С, а за v – скорость автомобиля. Составим систему уравнений:
\begin{cases} \frac{S}{v}-\frac{S}{80}=1 \\ \frac{420}{v}-\frac{2S}{80}=1 \end{cases}
Из второго уравнения выразим v:
\frac{420}{v}-\frac{2S}{80}=1\\\frac{420}{v}=1+\frac{2S}{80}\\\frac{420}{v}=1+\frac{S}{40}\\\frac{420}{v}=\frac{40+S}{40}\\v\cdot (40+S)=420\cdot 40\\v=\frac{420\cdot 40}{40+S}
Подставим значение v в первое уравнение:
\frac{S}{v}-\frac{S}{80}=1 \\\frac{S}{\frac{420\cdot 40}{40+S}}-\frac{S}{80}=1\\\frac{S\cdot (40+S)}{420\cdot 40}-\frac{S}{80}=1\:{\color{Blue} |\cdot 80}\\\frac{S\cdot (40+S)}{210}-S=80 \:{\color{Blue} |\cdot 210} \\S\cdot (40+S)-210S=80\cdot 210\\S^{2}+40S-210S-80\cdot 210=0\\S^{2}-170S-16800=0
D = (–170)2 – 4·1·(–16800) = 28900 + 67200 = 96100 = 3102
S_{1}=\frac{170+310}{2\cdot 1}=240\\S_{2}=\frac{170–310}{2\cdot 1}=–70\:{\color{Blue} <0\:\notin }
Ответ: 240.