Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 15 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Источник: statgrad
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим его за S.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{S}{x}.
Второй автомобилист проехал первую \frac{S}{2} половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути \frac{S}{2}, со скоростью х + 15 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{S}{2}}{50}+\frac{\frac{S}{2}}{x+15}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{S}{x}=\frac{\frac{S}{2}}{50}+\frac{\frac{S}{2}}{x+15}
Знаменатель дроби не может быть равен 0:
х ≠ 0,
х + 15 ≠ 0
x ≠ –15
Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на S:
\frac{2}{x}=\frac{1}{50}+\frac{1}{x+15}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot (x+15)+1\cdot 50}{50(x+15)}\\\frac{2}{x}=\frac{x+65}{50(x+15)}
2·50·(x + 15) = x·(x + 65)
100x + 1500 = x2 + 65x
x2 + 65x – 100x – 1500 = 0
x2 – 35x – 1500 = 0
D = (–35)2 – 4·1·(–1500) = 7225 = 852
x_{1}=\frac{35+85}{2\cdot 1}=\frac{120}{2}=60 \:км/ч \\ x_{2}=\frac{35–85}{2\cdot 1}=\frac{-50}{2}=-25\color{Blue} \lt 0
Ответ: 60 км/ч.