Расстояние между пристанями А и В равно 144 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 18 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
Найдём время в пути плота:
18/1 = 18 часов
Яхта отправилась на 1 час позже, т.е. её время:
18 – 1 = 17 часов
Пусть скорость яхты х. Тогда скорость яхты по течению реки x + 1 км/ч, а против течения x – 1 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{144}{x+1} км, а на путь против течения \frac{144}{x–1} км. Зная что всего яхта была в пути 17 часов, составим уравнение:
\frac{144}{x+1}+\frac{144}{x–1}=17\\\frac{144\cdot (x–1)+144\cdot (x+1)}{(x+1)(x–1)}=17\\\frac{144x+144x}{x^{2}–1^{2}}=17\\\frac{288x}{x^{2}–1}=17\\(x^{2}–1)\cdot 17=288x\\17x^{2}-288x-17=0
D = (–288)2 – 4·17·(–17) = 84100 = 2902
x_{1}=\frac{288+290}{2\cdot 17}=\frac{578}{34}=17\\x_{2}=\frac{288–290}{2\cdot 17}=\frac{–2}{34}=-\frac{1}{17}
Скорость яхты может быть только положительна, выбираем 17 км/ч.
Ответ: 17.