Расстояние между пристанями A и B равно 60 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 44 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: statgrad
Решение:
х – скорость яхты в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 4 км/ч, проплыл 44 км. Найдём время плота:
44/4 = 11 часов
Яхта отправилась в путь на 3 часа позже, значит в пути она была:
11 – 3 = 8 часов
Яхта проплыла по течению 60 км, со скоростью х + 4 км/ч и против течения 60 км со скоростью х – 4 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{60}{x+4}, а на путь против течения \frac{60}{x–4}. Зная, что всего яхта была в пути была 11 часов, составим уравнение:
\frac{60}{x+4}+\frac{60}{x–4}=8
\frac{60\cdot (x–4)+60\cdot (x+4)}{(x+4)\cdot (x–4)}=8
\frac{60\cdot (x–4+x+4)}{x^{2}–16}=8
\frac{60\cdot 2x}{x^{2}–16}=8
8·(x2 – 16) = 120x
8x2 – 120x – 128 = 0 |:8
x2 – 15x – 16 = 0
D = (–15)2 – 4·1·(–16) = 289 = 172
x_{1}=\frac{15–17}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=-1{\color{Blue} < 0\notin }
x_{2}=\frac{15+17}{2\cdot 1}=\frac{32}{2}=16
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 16, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 16.