Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
Источник: Ященко ЕГЭп 2024 (36 вар)
Решение:
Вероятность попадания отдельного выстрела: 0,6
Вероятность промаха отдельного выстрела: 1 – 0,6 = 0,4
На каждую мишень у стрелка два выстрела. Отсюда следует, что стрелок или не поразит мишень или поразит мишень с 1-го выстрела или поразит со 2-го выстрела. Вероятность, что он поразит мишень:
с 1-го выстрела: попадание = 0,6
со 2-го выстрела: промах попадание = 0,4·0,6 = 0,24
с 1-го или 2-го выстрела: 0,6 + 0,24 = 0,84
Вероятность не поразить мишень с двух выстрелов:
1 – 0,84 = 0,16
А – событие «стрелок поразит ровно одну мишень».
Пусть стрелок первую мишень поразит, а в последние четыре промахнется. Вероятность этого события равна:
0,84·0,16·0,16·0,16·0,16 = 0,84·0,164
Стрелок попадает в мишень и промахиваться по мишени в случайном порядке, главное, что один раз попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 1 мишень и в 4 промахнулся» равно C_{5}^{1} – число способов выбрать из пяти элементов один, (число сочетаний из 5 по 1).
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\\C_{5}^{1}=\frac{5!}{1!\cdot (5-1)!}=\frac{5!}{1!\cdot 4!}=\frac{5}{1}=5
Найдём вероятность события А:
Р(А) = 5·0,84·0,164
Аналогично находим вероятность В – событие «стрелок поразит ровно две мишени»:
C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{2\cdot 1}=2\cdot 5=10
Р(В) = 10·0,842·0,163
Найдём во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно одну мишень»:
\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{10·0,84^{2}·0,16^{3}}{5·0,84·0,16^{4}}=\frac{2·0,84}{0,16}=10,5
Ответ: 10,5.