Две подруги Ира и Ева задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из десяти отдельных клиньев, натянутых на каркас из десяти спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Ира и Ева сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 36 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 20 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 116 см.
Источник: ОГЭ 2025 Ященко (36 вар)
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 26,5 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложений). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6 см.
Решение
Найдём третью часть длины спицы, отняв от длины всего зонта длину ручки:
26,5 см – 6 см = 20,5 см
Если это третья часть, то вся спица в 3 раза больше:
20,5·3 = 61,5 см
Ответ: 61,5.
Задание 2
«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждала Ира, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Иры, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 58,8 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение
По первому условию зонт состоит из 10 треугольников с основанием а = 36 см и высотой h = 58,8 см.
Площадь одного такого треугольника:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 58,8=18\cdot 58,8=1058,4
Найдём площадь поверхности зонта, методом Ани, округлив до ДЕСЯТКОВ:
Sповерхности = 10·SΔ = 10·1058,4 = 10584 ≈ 10580 см2
Ответ: 10580.
Задание 3
Ева предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Нам необходимо найти гипотенузу R в прямоугольном треугольнике АВО. АВ равно половине d:
AB = d/2 = 116/2 = 58
Т.к. по условию ОС = R, то:
ОВ = ОС – h = R – 20
По теореме Пифагора найдём ОА = R:
ОА2 = АВ2 + ОВ2
R2 = 582 + (R – 20)2
R2 = 3364 + R2 – 40R + 400
R2 – R2 + 40R = 3764
40R = 3764
R = 3764/40 = 94,1
Ответ: 94,1.
Задание 4
Ева нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh‚ где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Евы. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение
S = 2πRh
π ≈ 3,14
R = 94,1
h = 20
Найдём площадь и округлим до целого:
S = 2πRh = 2·3,14·94,1·20 = 11818,96 ≈ 11819 см2
Ответ: 11819.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 19,2 м и ширину 125 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 18 зонтиков, таких же, как зонтик, который был у Иры и Евы. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1100 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Найдём площадь рулона ткани в см2:
S = 19,2м х 125см = 1920см х 125см = 240000 см2
Помня, что в одном зонте 10 треугольников, найдём сколько ушло ткани на 18 зонтов:
S1 = 18·10·1100 = 198000 см2
Найдём сколько см2 ткани рулона ушло в обрезки:
S2 = S – S1 = 240000 – 198000 = 42000 см2
Найдём сколько это процентов от начального рулона:
\frac{42000}{240000}\cdot 100\%=\frac{42}{240}\cdot 100\%=\frac{7}{40}\cdot 100\%=\frac{7 \cdot 100}{40}\%=\frac{700}{40}\%=17,5\%
Ответ: 17,5.