Два друга Миша и Гриша задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Миша и Гриша сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 30 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 29 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 116 см.
Источник: ОГЭ 2025 Ященко (36 вар)
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 28,8 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 7 см.
Решение:
Найдём треть длины спицы, отняв от длины всего зонта длину ручки:
28,8 см – 7 см = 21,8 см
Если это треть, то вся спица в 3 раза больше:
21,8·3 = 65,4 см
Ответ: 65,4.
Задание 2
«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждал Миша, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Миши, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 63,7 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение:
По первому условию зонт состоит из 12 треугольников с основанием а = 30 см и высотой h = 63,7 см.
Площадь одного такого треугольника:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 63,7=15\cdot 63,7=955,5
Найдём площадь поверхности зонта, методом Миши, округлив до ДЕСЯТКОВ:
Sповерхности = 12·SΔ = 12·955,5 = 11466 ≈ 11470 см2
Ответ: 11470.
Задание 3
Гриша предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Нам необходимо найти гипотенузу R в прямоугольном треугольнике АВО. АВ равно половине d:
AB = d/2 = 116/2 = 58
Т.к. по условию ОС = R, то:
ОВ = ОС – h = R – 29
По теореме Пифагора найдём ОА = R:
ОА2 = АВ2 + ОВ2
R2 = 582 + (R – 29)2
R2 = 3364 + R2 – 58R + 841
R2 – R2 + 58R = 4205
58R = 4205
R = 4205/58 = 72,5
Ответ: 72,5.
Задание 4
Гриша нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh, где R – радиус сферы, a h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Гриши. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение:
S = 2πRh
π ≈ 3,14
R = 72,5
h = 29
Найдём площадь и округлим до целого:
S = 2πRh = 2·3,14·72,5·29 = 13203,7 ≈ 13204 см2
Ответ: 13204.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 19,2 м и ширину 150 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 21 зонтика, таких же, как зонтик, который был у Миши и Гриши. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1000 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Найдём площадь рулона ткани в см2:
S = 19,2м х 150см = 1920см х 150см = 288000 см2
Помня, что в одном зонте 12 треугольников найдём сколько ушло ткани на 21 зонт:
S1 = 21·12·1000 = 252000 см2
Найдём сколько см2 ткани рулона ушло в обрезки:
S2 = S – S1 = 288000 – 252000 = 36000 см2
Найдём сколько это процентов от начального рулона:
\frac{36000}{288000}\cdot 100\%=\frac{36}{288}\cdot 100\%=\frac{1}{8}\cdot 100\%=\frac{1 \cdot 100}{8}\%=12,5\%
Ответ: 12,5.