Роман Андреевич начал строить на дачном участке теплицу (рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 5,2 м (DС на рис. 2) и шириной 2,8 м (АD на рис. 2). Нижний ярус теплицы имеет форму прямоугольного параллелепипеда, собран из металлического профиля и по длине для прочности укреплён металлическими стойками. Высота нижнего яруса теплицы в два раза меньше её ширины. Для верхнего яруса теплицы Роман Андреевич заказал металлические дуги в форме полуокружностей, которые крепятся к стойкам нижнего яруса. Отдельно требуется купить материал для обтяжки поверхности теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис. 1 прямоугольником ЕFКN, где точки Е, Р и N делят отрезок АD на равные части. Внутри теплицы Роман Андреевич планирует сделать три грядки: одну широкую центральную и две одинаковые узкие по краям, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 40 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером 20 х 20 см.
Источник: ОГЭ 2025 Ященко (36 вар)
Задание 1
Найдите высоту теплицы PQ в сантиметрах.
Решение:
Высоту теплицы PQ можно найти следующим образом:
PQ = PO + OQ
РО – это высота нижнего яруса теплицы, который в два раза меньше её ширины AD:
PO = AD/2 = 2,8/2 = 1,4 м
OQ – это радиус полуокружности верхнего яруса теплицы, равный половине ширины теплицы AD (т.к. E, P и N делят отрезок AD на равные части):
R = OQ = PD = AD/2 = 2,8/2 = 1,4 м
Найдём высоту теплицы PQ и переведём в сантиметры:
PQ = PO + OQ = 1,4 + 1,4 = 2,8 м = 280 см
Ответ: 280.
Задание 2
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 12 штук?
Решение:
По условию ширина дорожек равна 40 см. Длина нижней дорожки, равна ширине теплицы AD = 2,8 м = 280 см. Длины двух других дорожек равны длине теплицы DC = 5,2 м = 520 см:
Найдём общую площадь всех трёх дорожек:
40·280 + 40·520 + 40·520 = 40·(280 + 520 + 520) = 40·1320 = 52800 см2
Дорожки пересекаются, площадь двух квадратов посчитали дважды, вычтем их:
52800 – 40·40 – 40·40 = 49600 см2
Площадь одной тротуарной плитки равна 20х20 см:
20·20 = 400 см2
Найдём сколько нужно купить:
49600/400 = 124 плитки
В одной упаковке 12 плиток, значит надо купить:
124/12 ≈ 10,3… упаковок
Значит минимум понадобится 11 упаковок.
Ответ: 11.
Задание 3
На сколько процентов площадь узкой грядки меньше площади центральной грядки, если ширина центральной грядки равна 80 см?
Решение:
Найдём ширину одной узкой грядки:
(280 – 80 – 40 – 40)/2 = 60 см
Длина у грядок одинаковая, поэтому величины прощадей и их отношение будут зависить только от ширины.
Ширина центральной грядки больше на:
80 – 60 = 20 см
Найдём на сколько процентов площадь узкой грядки меньше площади центральной грядки:
\frac{20}{80}\cdot 100\%=\frac{1}{4}\cdot 100\%=0,25\cdot 100\%=25\%
Ответ: 25.
Задание 4
Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса теплицы. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых.
Решение:
Длина металлической дуги, это половина длины окружности с радиусом равным 1,4 м. Найдём по формуле длину окружности:
С = 2πR = 2·3,14·1,4
Длина дуги в два раза меньше, округлим в большую сторону до десятых:
\frac{С}{2}=\frac{2·3,14·1,4}{2}=3,14·1,4=4,396\approx 4,4\:м
Ответ: 4,4.
Задание 5
Найдите высоту EF входа в теплицу в метрах с точностью до десятых.
Решение:
Высоту EF можно найти следующим образом:
EF = EV + VF
EV – это высота нижнего яруса теплицы он равен 1,4 м = 140 см.
Рассмотрим ΔFVO, он прямоугольный, в нём FO = 1,4 м = 140 см, как радиус дуги. VO = EP, как параллельные стороны прямоугольника, и равен 2,8/4 = 0,7 м = 70 см.
В прямоугольном ΔFVO, по теореме Пифагора, найдём VF:
FO2 = VF2 + VO2
1402 = VF2 + 702
1402 – 702= VF2
14700 = VF2
VF = √14700
Найдём высоту EF, в сантиметрах с точностью до целого:
EF = EV + VF = 140 + \sqrt{14700} = 140 + \sqrt{3\cdot 49\cdot 100}=140+\sqrt{3\cdot 7^{2}\cdot 10^{2}}=140+7\cdot 10\cdot \sqrt{3}=140+70\cdot \sqrt{3}\approx 140+70\cdot 1,73 \approx 140+121,1\approx 261,1\approx 261\: см
Чтобы найти приближённое значение √3, в таблице квадратов из справочного материала ОГЭ находим, что наиболее близкое число это 1,7, а потом в столбик находим ближайшее число до сотых это 1,73:
Переведём в метры и округлим до десятых:
ЕF = 261 см = 2,61 м ≈ 2,6 м
Ответ: 2,6.