На рисунке изображён план сельской местности.
Юля летом отдыхает с родителями в деревне Зубовка (на плане обозначена цифрой 6). Юля с папой собираются съездить на велосипедах на станцию Рокотово. Из Зубовки до Рокотово можно проехать по проеёлочной дороге до села Широкое, где нужно свернуть под прямым углом направо на шоссе, проехать мост через речку, деревню Пеговка и в посёлке Фабричный ещё раз повернуть направо на другое шоссе. Указанный маршрут можно сократить по расстоянию, если в Пеговке свернуть с шоссе на просёлочную дорогу, ведущую мимо конюшни напрямую в Рокотово. Из Зубовки в Пеговку также можно проехать не через Широкое, а по прямой просёлочной дороге через мост. Ещё один возможный маршрут – это из Зубовки ехать по просёлочной дороге в противоположную сторону от Широкого до деревни Тарасовка, где надо свернуть налево на шоссе, ведущее в деревню Колодезная, где надо ещё раз повернуть налево на другое шоссе.
Прямые участки дорог между пунктами 1, 3, 5 и 7, указанными на плане, образуют прямоугольник.
По шоссе Юля с папой едут со скоростью 24 км/ч, а по просёлочным дорогам – 18 км/ч. Расстояние по шоссе от Колодезной до Рокотово равно 17 км, от Колодезной до Фабричного – 22 км, от Колодезной до Тарасовки – 24 км, от Широкого до Зубовки – 16 км, а от Широкого до Пеговки – 12 км.
Источник: ОГЭ 2024 Ященко (36 вар)
Задание 1
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.
Решение:
Юля летом отдыхает с родителями в деревне Зубовка (на плане обозначена цифрой 6). … Из Зубовки до Рокотово можно проехать по проеёлочной дороге до села Широкое (5), где нужно свернуть под прямым углом направо на шоссе, проехать мост через речку, деревню Пеговка (4) и в посёлке Фабричный (3) ещё раз повернуть направо на другое шоссе. Указанный маршрут можно сократить по расстоянию, если в Пеговке (4) свернуть с шоссе на просёлочную дорогу, ведущую мимо конюшни напрямую в Рокотово (2). … Ещё один возможный маршрут – это из Зубовки (6) ехать по просёлочной дороге в противоположную сторону от Широкого до деревни Тарасовка (7), где надо свернуть налево на шоссе, ведущее в деревню Колодезная (1), где надо ещё раз повернуть налево на другое шоссе.
Ответ: 2354.
Задание 2
На сколько процентов скорость, с которой едут Юля с папой по просёлочной дороге, меньше их скорости по шоссе?
Решение:
По шоссе скорость: 24 км/ч
По просёлочной дороге скорость: 18 км/ч
Скорость по проселочной дороге меньше скорости по шоссе на:
24 – 18 = 6 км/ч
24 км/ч это 100%, найдём сколько от этого составляют 6 км/ч:
\frac{6}{24}\cdot 100\%=\frac{1}{4}\cdot 100\%=\frac{1·100}{4}\%=25\%
Ответ: 25.
Задание 3
Найдите расстояние между деревнями Пеговка и Зубовка по просёлочной дороге. Ответ дайте в километрах.
Решение:
… от Широкого до Зубовки – 16 км, а от Широкого до Пеговки – 12 км.
По условию задания нанесём на план местности названия населённых пунктов и расстояния между ними:
В прямоугольном (угол на повороте по шоссе прямой) треугольнике, по теореме Пифагора, найдём гипотенузу (х), которая и является искомым расстоянием:
х2 = 122 + 162
х2 = 144 + 256
х2 = 400
х = √400 = 20 км
Ответ: 20.
Задание 4
Сколько минут затратят на дорогу Юля с папой, если поедут на станцию через Колодезную?
Решение:
Расстояние по шоссе от Колодезной до Рокотово равно 17 км, от Колодезной до Фабричного – 22 км, от Колодезной до Тарасовки – 24 км, от Широкого до Зубовки – 16 км …
Из условия задания знаем все расстояния:
Дороги образуют прямоугольник, его противоположные стороны равны, значит расстояние Колодезная – Фабричный (22 км) равно расстоянию Тарасовка Широкое.
Расстояние по проселочной дороге равно 6 км, а общее расстояние по шоссе:
17 + 24 = 41 км
По шоссе Юля с папой едут со скоростью 24 км/ч, а по просёлочным дорогам – 18 км/ч. Найдем время в пути:
\frac{6}{18}+\frac{41}{24}=\frac{1}{3}+\frac{41}{24}=\frac{1\cdot 8+41\cdot 1}{24}=\frac{49}{24} часов
Переведём в минуты (1 час = 60 минут):
\frac{49}{24}\cdot 60=\frac{49\cdot 60}{24}=\frac{49\cdot 5}{2}=\frac{245}{2}=122,5 минут
Ответ: 122,5.
Задание 5
Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с папой, если поедут этим маршрутом.
Решение:
Маршрут 1:
Время: 122,5 минут (см. задание 4).
Маршрут 2:
Время:
(\frac{16}{18}+\frac{24+5}{24})\cdot 60=(\frac{8}{9}+\frac{29}{24})\cdot 60=\frac{8\cdot 60}{9}+\frac{29\cdot 60}{24}=\frac{8\cdot 20}{3}+\frac{29\cdot 5}{2}=\frac{8\cdot 20\cdot 2+29\cdot 5\cdot 3}{6}=\frac{755}{6}=125\frac{5}{6} минут
Маршрут 3:
Время:
(\frac{20}{18}+\frac{12+5}{24})\cdot 60=(\frac{10}{9}+\frac{17}{24})\cdot 60=\frac{10\cdot 20}{3}+\frac{17\cdot 5}{2}=\frac{10\cdot 20\cdot 2+17\cdot 5\cdot 3}{6}=\frac{655}{6}=109\frac{1}{6} минут
Маршрут 4:
В прямоугольном (угол на повороте по шоссе прямой) треугольнике, по теореме Пифагора, найдём гипотенузу (х), расстояние по просёлочной дороге:
х2 = 122 + 52
х2 = 144 + 25
х2 = 169
х = √169 = 13 км
Время:
\frac{20+13}{18}\cdot 60=\frac{33\cdot 60}{18}=\frac{33\cdot 10}{3}=110 минут
Маршрут 5:
Время:
(\frac{16+13}{18}+\frac{12}{24})\cdot 60=(\frac{29}{18}+\frac{1}{2})\cdot 60=\frac{29\cdot 60}{18}+\frac{1\cdot 60}{2}=\frac{29\cdot 10}{3}+30=96\frac{2}{3}+30=126\frac{2}{3} минут
Наименьшее время на маршруте 3, оно равно 109\frac{1}{6} минуты.
Ответ: 109\frac{1}{6}.
Ответ в сборнике: 110.
Я в своем решении всё перепроверил, ошибки не вижу, получается ответ 109\frac{1}{6}, который нельзя записать в бланк ОГЭ. Возможно, т.к. этот маршрут 3 не описывается в начальном условии, то его и считать не надо. Тогда самый быстрый маршрут 4 и ответ, действительно 110.