В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиусом 4 вписана в ромб и касается стороны AD в точке Е. Найдите площадь ромба, если известно, что DE = 2.
Источник: fioco.ru
Решение:
ОЕ = 4 как радиус окружности. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Диагонали ромба перпендикулярны и делят ромб на 4 равных треугольника.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
OE=\sqrt{AE\cdot ED}\\4=\sqrt{AE\cdot 2}\:{\color{Blue} |^2} \\16=AE\cdot 2\\AE=\frac{16}{2}\\AE=8
Найдём AD:
AD = AE + ED = 8 + 2 = 10
Найдём площадь ромба, как сумму 4 равных треугольников:
S◊ABCD = 4·SΔAOD = 4·\frac{1}{2}·AD·OE = 4·\frac{1}{2}·10·4 = 2·40 = 80
Ответ: 80.