Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Источник задания: fioco.ru
Решение:
х – скорость лодки в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 4 км/ч, проплыл 32 км. Найдём время плота:
32/4 = 8 часов
Лодка отправилась в путь на 1 час позже, значит в пути она была:
8 – 1 = 7 часов
Лодка проплыла по течению 45 км, со скоростью х + 4 км/ч и против течения 45 км со скоростью х – 4 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{45}{x+4}, а на путь против течения \frac{45}{x-4}. Зная что всего лодка была в пути 7 часов, составим уравнение:
\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=7\\\frac{45(x-4)+45(x+4)}{(x+4)(x-4)}=7\\\frac{45(x-4+x+4)}{x^{2}-4^{2}}=7\\\frac{45\cdot 2x}{x^{2}-16}=7\\\frac{90x}{x^{2}-16}=7
7·(x2 – 16) = 90x·1
7x2 – 90x – 112 = 0
D = (–90)2 – 4·7·(–112) = 8100 + 3136 = 11236 = 1062
x_{1}=\frac{90+106}{2 \cdot 7}=\frac{196}{14}=14 \\ x_{2}=\frac{90-106}{2\cdot 7}=\frac{-16}{14}=-1\frac{2}{14}\color{Blue} <0
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 14, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 14 км/ч.