В правильном треугольнике АВС проведена средняя линия DE параллельно АС. Прямая, проходящая через точку А и середину F отрезка DE, пересекает ВС в точке К. Найдите длину отрезка АК, если АС = 9√7.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

    Построим треугольник по условию задачи и высоту BH:

В правильном треугольнике АВС проведена средняя линия DE параллельно АС.

    Рассмотрим ΔОКЕ и ΔАКС, они подобны по двум равным углам ∠КОЕ = ∠КАС, ∠КЕО = ∠КСА (как соответствующие при двух параллельных сторонах и секущей). Составим соотношение сторон:

    Найдём ОЕ, это половина средней линии, которая в свою очередь равна половине основания АС:

    Подставим в соотношение сторон:

    Значит ОК составляет 1 часть из 4-х частей, обозначим её за х, тогда АО оставшиеся 3 части, т.е. 3х.
    Из прямоугольного треугольника АОН найдём значение х. Сторона АО = 3х, АН это половина АС:

    ОН составляет половину от ВН, а ВН найдём из прямоугольного ΔABH по теореме Пифагора:

    Найдём ОН:

    Подставляем и по теореме Пифагора находим из прямоугольного ΔАОН х:

AO2 = AH2 + OH2

    Найдём АК:

АК = 4х = 4·5,25 = 21

Ответ: 21.

  • Рубрика записиЕГЭ Ларин