Решение №2527 Сложив четыре полученных результата, Петя получил число 1521.

Петя записал на доске два различных натуральных числа. Затем он их сложил, перемножил, вычел из большего записанного числа меньшее и разделил большее на меньшее. Сложив четыре полученных результата, Петя получил число 1521. Найдите все такие пары натуральных чисел. В ответ запишите их сумму.

Источник: ЦТ 2022

Решение:

Пусть первое число х, а второе у. Числа не равны нулю и целые (т.к. натуральные), одно из них больше другого, пусть х > y (т.к. различные).
Найдём четыре полученных Петей результата:

х + у
ху
х – у
$\frac{x}{y}$

Сложив эти четыре результата Петя получил сумма равную 1521:

х + у + ху + х – у + $\frac{x}{y}$ = 1521
2х + ху + $\frac{x}{y}$ = 1521

Приводим к общему знаменателю левую часть:

$\frac{2xy+xy^{2}+x}{y}=1521$

$\frac{x(2y+y^{2}+1)}{y}=1521$

$\frac{x(y^{2}+2y+1)}{y}=1521$

$\frac{x(y+1)^{2}}{y}=1521$

Извлекаем корень из обоих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{x(y+1)^{2}}{y}}=\sqrt{1521}$

$\sqrt{\frac{x}{y}}\cdot (y+1)=39$

Разложим 39 на множители:

1) 1·39 = 39
2) 39·1 = 39
3) 3·13 = 39
4) 13·3 = 39

$\sqrt{\frac{x}{y}}\neq 1$ , т.к. х ≠ y, а х > y, значит 1-й вариант нам не подходит.
Если y + 1 = 1, то y = 0, а по условию y ≠ 0, 2-й вариант тоже не подходит.
Если y + 1 = 13, а $\sqrt{\frac{x}{y}}= 3$ , то у = 13 – 1 = 12, найдём х: