Решение №6191 Найдите tg α, если sin α = 2√5/5 и α ∈ (п/2; п).

Решение:

    По основному тригонометрическому тождеству найдём cos α:

sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\\(\frac{2\sqrt{5}}{5})^{2}+cos^{2}\alpha=1\\\frac{20}{25}+cos^{2}\alpha=1\\cos^{2}\alpha=1-\frac{4}{5}\\cos^{2}\alpha=\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\\cos^{2}\alpha=\frac{1}{5}\\cos\alpha=±\sqrt{\frac{1}{5}}=±\frac{1}{\sqrt{5}}

    По условию α ∈ (\frac{π}{2}; π), там cos α < 0.

    Значит cos α = -\frac{1}{\sqrt{5}}, найдём tgα:

tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{5\cdot 1}=-\frac{2\cdot \sqrt{25}}{5}=-\frac{2\cdot 5}{5}=-2

Ответ: –2.