Найдите значение выражения \sqrt{27}cos^{2}\frac{19\pi}{12}-\sqrt{27}sin^{2}\frac{19\pi}{12}.
Источник: Ященко ЕГЭп 2026 (36 вар.)
Решение:
Использовал следствия (7) и (9) из формул справочного материала ЕГЭ (профильный уровень):
\sqrt{27}cos^{2}\frac{19\pi}{12}-\sqrt{27}sin^{2}\frac{19\pi}{12}=\sqrt{27}\cdot (cos^{2}\frac{19\pi}{12}-sin^{2}\frac{19\pi}{12})=\sqrt{27}\cdot (cos^{2}\frac{19\pi}{12}-(1-cos^{2}\frac{19\pi}{12}))=\sqrt{27}\cdot (cos^{2}\frac{19\pi}{12}-1+cos^{2}\frac{19\pi}{12})=\sqrt{27}\cdot (2cos^{2}\frac{19\pi}{12}-1)=\sqrt{27}\cdot cos(2\cdot \frac{19\pi}{12})=\sqrt{27}cos( \frac{19\pi}{6})=\sqrt{27}cos( \frac{18\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=\sqrt{27}cos(3\pi+\frac{\pi}{6})=\sqrt{27}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\sqrt{27}\cdot \sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{27\cdot 3}}{2}=-\frac{\sqrt{81}}{2}=-\frac{9}{2}=-4,5
С помощью тригонометрического круга находим значение cos(3\pi+\frac{\pi}{6}):
Ответ: –4,5.