В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 27 и 15, а сумма углов при основании АD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ = 14.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Продолжим касательную CD и прямую АВ они пересекутся в какой то точке К.
По условию ∠А + ∠D = 90°, в треугольнике сумма 3-х углов равна 180°, тогда в ΔAKD ∠K = 180° – 90° = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Треугольники ΔAKD и ΔBKC подобны по двум углам, в них ∠К общий, ∠KAD = ∠KBC как соответственные при BC||AD и секущей AB. Запишем пропорциональные стороны и найдём КB:
\frac{BC}{AD}=\frac{KB}{KA}\\\frac{15}{27}=\frac{KB}{KB+14}\\15\cdot (KB+14)=27\cdot KB\\15\cdot KB+210=27\cdot KB\\210=27\cdot KB-15\cdot KB\\210=12\cdot KB\\KB=\frac{210}{12}=17,5
Проведём радиус ОT к касательной, ОT⊥DK.
Проведём перпендикулярную прямую ON к хорде AB, она будет делить АВ на два равных отрезка, найдём NB:
NB=\frac{AB}{2}=\frac{14}{2}=7
В четырёхугольнике NKTO три прямых угла, значит и 4-й угол прямой. Получаем, что это прямоугольник, противоположные стороны равны. Радиус OT равен:
OT = NK = NB + BK = 7 + 17,5 = 24,5
Ответ: 24,5.