Решение №3314 Основания трапеции относятся как 1:2.

Решение:

    По условию:

\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}=\frac{1\cdot x}{2\cdot x}

    Обозначим BC = x, а AD = 2x.
    Отрезок (KT) проходящий через точку (O) пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равен среднему гармоническому оснований трапеции:

KT=\frac{2\cdot AD\cdot BC}{AD+BC}=KT=\frac{2\cdot 2x\cdot x}{2x+x}=\frac{4x^{2}}{3x}=\frac{4x}{3}

    ΔАОD подобен ΔBOC по двум равным углам (∠BOC = ∠AOD – вертикальные, ∠СAD = ∠ACB – накрест лежащие при AD||BC и секущей АС), тогда коэффициент подобия равен:

\frac{BC}{AD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}

    Значит и их высоты имеют такой же коэффициент подобия, отсюда:

\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{1}{2}
h₂ = 2·h₁

    Найдём в каком отношении отрезок КТ делит площадь трапеции:

\frac{S_{KBCT}}{S_{AKTD}}=\frac{\frac{KT+BC}{2}\cdot h_{1}}{\frac{AD+KT}{2}\cdot h_{2}}=\frac{\frac{\frac{4x}{3}+x}{2}\cdot h_{1}}{\frac{2x+\frac{4x}{3}}{2}\cdot 2h_{1}}=\frac{\frac{4x}{3}+x}{(2x+\frac{4x}{3})\cdot 2}=\frac{\frac{4x}{3}+x\:{\color{Blue} |\cdot 3} }{4x+\frac{8x}{3}\:{\color{Blue} |\cdot 3} }=\frac{4x+3x}{12x+8x}=\frac{7x}{20x}=\frac{7}{20}

Ответ: \frac{7}{20}.