Найдите косинус угла между векторами \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q}, если известно, что \overrightarrow{p}(–5; –12) и \overrightarrow{q}(56; 33).
Источник: mathege, ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Найдём скалярное произведение векторов по этой формуле:
\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}=-5\cdot 56+(-12)\cdot 33=-280-396=-676
Найдём длину каждого из векторов:
|\overrightarrow{p}|=\sqrt{(-5)^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\\|\overrightarrow{q}|=\sqrt{56^{2}+33^{2}}=\sqrt{3136+1089}=\sqrt{4225}=65
Подставим в эту формулу найденные выше значения и найдём косинус угла между векторами:
\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=|\overrightarrow{p}|\cdot |\overrightarrow{q}|cos\alpha\\-676=13\cdot 65\cdot cos\alpha\\-676=845\cdot cos\alpha\\cos\alpha=\frac{-676}{845}=-0,8
Ответ: –0,8.