Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 7. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её в отношении 2:7, считая от вершины.
Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)
Решение:
Высота ВН делит основание АС на АН = 4 и НС = 7.
Высота АК делит высоту ВН на ВО = 2х и ОН = 7х, тогда ВН = 2х + 7х = 9х.
ΔАНО подобен ΔВКО, т.к. ∠АНО = ∠ВКО = 90°, ∠АОН = ∠ВОК как вертикальный. Запишем отношение пропорциональных сторон треугольников:
\frac{BO}{AO} = \frac{KO}{OH} = \frac{BK}{AH} \\ \frac{2x}{AO} = \frac{KO}{7x} = \frac{BK}{4}
ΔBHC подобен ΔВКО, т.к. ∠BHC = ∠ВКО = 90°, ∠B – общий. Запишем отношение пропорциональных сторон треугольников:
\frac{BO}{BC} = \frac{KO}{HC} = \frac{BK}{BH} \\ \frac{2x}{BC} = \frac{KO}{7} = \frac{BK}{9x}
В каждой пропорции возьмём последние две дроби и выразим из них KO:
KO = \frac{7x \cdot BK}{4} \\ KO = \frac{7 \cdot BK}{9x}
Приравняем значения КО:
\frac{7x \cdot BK}{4} = \frac{7 \cdot BK}{9x} \:{\color{Blue} |: 7BK} \\ \frac{x}{4} = \frac{1}{9x}
x·9x = 4
9x2 = 4
x2 = \frac{4}{9}
x=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}
Зная х найдём искомую высоту ВН:
ВН = 9х = 9\cdot \frac{2}{3} = 3·2 = 6
Ответ: 6.