Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿DC, значит и хорды равны DC = AM = 10.
∠AKB = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:
∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°
По теореме косинусов найдём MB:
MB2 = AM2 + AB2 – 2·AM·AB·cos 120°
MB = \sqrt{AM^2 + AB^2 – 2 \cdot AM \cdot AB \cdot \cos 120^\circ} \\ MB = \sqrt{10^2 + 40^2 – 2 \cdot 10 \cdot 40 \cdot \cos 120^\circ} \\ MB = \sqrt{100 + 1600 – 800 \cdot (-0,5)} = \sqrt{2100}
Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:
\frac{MB}{\sin 120^\circ} = 2R \\ \frac{\sqrt{2100}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \\ \frac{\sqrt{2100} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2R \\ \frac{\sqrt{2100}}{\sqrt{3}} = R \\ R = \sqrt{700} = \sqrt{7 \cdot 100} = 10\sqrt{7}
Ответ: 10\sqrt{7}.