15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн 600 тыс. рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца из первых шести месяцев действия кредита долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– 1-го числа каждого месяца из последних шести месяцев действия кредита долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 4 млн 153,5 тысячи рублей. Найдите r.
Источник: Ященко ЕГЭп 2026 (36 вар.)
Решение:
S = 3,6 млн. рублей, сумма взятого кредита;
% = r% = \frac{r}{100}
% = 2% = 0,02
\frac{1}{12}S – ежемесячное снижение долга;
| Месяц | Долг начальный | % | Платёж (\frac{1}{12}S + %) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) |
| 1 | S | \frac{r}{100}·S | \frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·S | \frac{11}{12}S |
| 2 | \frac{11}{12}S | \frac{r}{100}·\frac{11}{12}S | \frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·\frac{11}{12}S | \frac{10}{12}S |
| . . . | … | … | … | … |
| 11 | \frac{2}{12}S | 0,02·\frac{2}{12}S | \frac{1}{12}S+0,02·\frac{2}{12}S | \frac{1}{12}S |
| 12 | \frac{1}{12}S | 0,02·\frac{1}{12}S | \frac{1}{12}S+0,02·\frac{1}{12}S | 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
\frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·S+\frac{1}{12}S+\frac{r}{100}·\frac{11}{12}S+…+\frac{1}{12}S+0,02\cdot \frac{2}{12}S+\frac{1}{12}S+0,02·\frac{1}{12}S=S+\frac{r}{100}S\cdot (1+\frac{11}{12} +…+\frac{7}{12})+0,02S\cdot (\frac{6}{12}+…+\frac{2}{12}+\frac{1}{12})=S+\frac{r}{100}S\cdot\frac{57}{12}+0,02S\cdot \frac{21}{12}=S\cdot (1+\frac{r}{100}\cdot \frac{57}{12}+0,02\cdot \frac{21}{12})
Подставим сумму взятого кредита и сумму всех выплат:
3,6\cdot (1+\frac{r}{100}\cdot \frac{57}{12}+0,02\cdot \frac{21}{12})=4,1535\:{\color{Blue} |\cdot 1200} \\3,6\cdot (1200+r\cdot 57+2\cdot 21)=4984,2\\3,6\cdot (1242+r\cdot 57)=4984,2\:{\color{Blue} |\cdot 10}\\36\cdot (1242+r\cdot 57)=49842\\44712+2052r=49842\\2052r=49842-44712\\2052r=5130\\r=\frac{5130}{2052}\\r=2,5\%
Ответ: 2,5%.