Решение и ответы заданий Варианта №18 из сборника ЕГЭ 2023 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко 36 типовых вариантов ФИПИ школе. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задание №14 долго оформлять, решу его позже, если будет время и желание.
Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Угол между биссектрисой CD и медианой СМ проведёнными из вершины прямого угла С треугольника АВС, равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Задание 2.
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Задание 3.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 шахматистов, среди которых 4 спортсмена из России, в том числе Фёдор Волков. Найдите вероятность того, что в первом туре Фёдор Волков будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Задание 4.
Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.
Задание 5.
Найдите корень уравнения log4 25x+7 = 3.
Задание 6.
Найдите значение выражения \frac{a^{3,33}}{ a^{2,11}\cdot a^{2,22}} при а = \frac{2}{7}.
Задание 7.
Прямая у = 9х + 6 является касательной к графику функции у = ах2 – 19х + 13. Найдите а.
Задание 8.
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}, где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 километра. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?
Задание 9.
Первый садовый насос перекачивает 10 литров воды за 5 минут, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 72 литра воды?
Задание 10.
На рисунке изображён график функции f(x) = k\sqrt{x+p}. Найдите f(0,25).
Задание 11.
Найдите наибольшее значение функции у = 2х2 – 12х + 8lnх – 5 на отрезке [\frac{12}{13};\frac{14}{13}].
Задание 12.
а) Решите уравнение 7cosx – 4cos3x = 2√3sin2x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; –3π].
Задание 13.
Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.
Задание 14.
Решите неравенство log52(x4) – 28log0,04 (x2) ≤ 8.
Задание 15.
Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 3х2 + 6х + 13 млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет рх – q. При каком наименьшем значении р через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?
Задание 16.
Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1 пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Задание 17.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Задание 18.
Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, [\frac{11}{4}] = 2, так как 2≤\frac{11}{4}<3.
а) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]=n?
б) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]=n+2?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{8}]+[\frac{n}{23}]=n+2021?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.