Решение варианта ЕГЭ 2025 Математика Профиль от 26.05.2025 День 1

Решение заданий и ответы варианта ЕГЭ2025 от 26 мая 2025 года по математике (профильный уровень) День 1. Основная волна КИМ, профиль. Белгород, Курск. Реальный вариант.

Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания экзамена в учебных целях.
Задания №14,17,18,19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.

Задание 1.
Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

ИЛИ

Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E – середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Задание 2.
Даны векторы $\overrightarrow{a}$ (5;2) и $\overrightarrow{b}$ (3; –6). Найдите скалярное произведение вектора $\overrightarrow{a}$ – $\overrightarrow{b}$ и 5 $\overrightarrow{a}$ – $\overrightarrow{b}$ .

ИЛИ

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ целочисленными координатами. Найдите значение выражения $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ .

Задание 3.
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 52. Точка Е – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды ЕАВС.

ИЛИ

От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Задание 4.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

ИЛИ

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Биолог» выиграет жребий ровно два раза.

Задание 5.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна 0,25. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Результат округлите до тысячных.

Задание 6.
Найдите корень уравнения log₈ (5x + 47) = 3.

ИЛИ

Найдите корень уравнения log₅ (8 – x) = log₅ 2.

Задание 7.
Найдите 45cos2α, если cosα = −0,9.

Задание 8.
На рисунке изображён график y = f′(x) – производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции f(x)?

Задание 9.
Автомобиль, движущийся со скоростью v₀ = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 3 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀t – $\frac{at^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

ИЛИ

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 60 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 18 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}$ , где t – время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Задание 10.
Валя и Галя пропалывают грядку за 35 минут, а одна Галя – за 60 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя?

Задание 11.
На рисунке изображены графики функций видов f(x) = a√x и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задание 12.
Найдите точку минимума функции y = (x + 53)·e^x^–53.

Задание 13.
а) Решите уравнение 2√2sin(x + $\frac{\pi}{3}$ ) + 2cos² x = 2 + √6cos x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$ .

ИЛИ

а) Решите уравнение sin(–2x + $\frac{\pi}{2}$ ) – sin(4π – x) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{7\pi}{2};-\pi]$ .

Задание 14.
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, точка M – середина ребра CC₁. Плоскость α проходит через точки B₁, A и M.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью α равна 6 и AB = 2.

Задание 15.
Решите неравенство log₅ ( $\frac{3}{x}$ + 2) – log₅ (x + 2) ≤ log₅ $\frac{x+1}{x^{2}}$ .

Задание 16.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
– к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.

ИЛИ

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x² + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

ИЛИ

Строительство нового завода стоит 159 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на, таком заводе равны 0,5х² + 2х + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – (0,5х² + 2х + 6). Когда, завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год р = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Задание 17.
В трапеции АВСD угол ВАD прямой. Окружность, построенная на болышем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание ВС в точках С и М.
а) Докажите, что угол ВАМ равен углу САР.
б) Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если АВ = 6, а ВС = 4ВМ.

Задание 18.
При каких значениях параметра a уравнение

2x² + a⋅tg(cosx) + a² = 0

имеет единственное решение?

Задание 19.
В парке n аттракционов. С 11 до 12 часов дня парк посетило только n детей. Стоимость посещения каждого аттракциона составляет 10 рублей. Каждый ребёнок потратил или 30, или 140 рублей, причём не все дети потратили поровну денег. Один аттракцион можно посетить много раз.
а) Может ли выручка каждого аттракциона составить ровно 80 рублей?
б) Какое наименьшее количество детей могло быть, если известно, что все аттракционы получили одинаковую выручку?
в) Любые два аттракциона имеют разную выручку (возможно, нулевую). Каково наибольшее возможное количество посетивших парк детей?

Источник заданий варианта: Основная волна ЕГЭп2025 26.05.2025 День 1.