Решение всех заданий и ответы к ним, вариантов Дальнего Востока, Сибири, Урала, Москвы и других регионов реального ЕГЭ от 1 июня 2023 года по математике (профильный уровень). Основная волна КИМ, ДВ, МСК Дальневосточный, Владивосток, профиль. 
Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания экзамена в учебных целях.Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка Е – середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE.
ИЛИ
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G − середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABGD.
ИЛИ
Площадь треугольника АВС равна 183, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
ИЛИ
Площадь треугольника ABC равна 24, DE – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найдите площадь треугольника CDE.
ИЛИ
Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
ИЛИ
Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
Задание 2.
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 20.
ИЛИ
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.
ИЛИ
Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.
ИЛИ
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
Задание 3.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Польши и 4 прыгуна из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать прыгун из Польши.
ИЛИ
На конференцию приехали учёные из трёх стран: 7 из Сербии, 3 из России и 2 из Дании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из России.
ИЛИ
В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
ИЛИ
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 10 спортсменов из Аргентины, 8 спортсменов из Чили, 3 спортсмена из Уругвая и 4 – из Парагвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Парагвая.
ИЛИ
Фабрика выпускает сумки. В среднем 19 сумок из 160 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.
Задание 4.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
ИЛИ
В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
ИЛИ
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Задание 5.
Найдите корень уравнения 7−6−х = 343.
ИЛИ
Найдите корень уравнения 3x−3= 81.
Задание 6.
Найдите значение выражения log10 8 + log10 125.
ИЛИ
Найдите значение выражения \frac{log_{12}10}{log_{12}2}+log_{2}\frac{8}{5}.
ИЛИ
Найдите значение выражения log0,7 10 – log0,7 7.
ИЛИ
Найдите значение выражения log_{\sqrt[6]{13}}13.
ИЛИ
Найдите значение выражения 16\cdot log_{7}\sqrt[4]{7}
Задание 7.
На рисунке изображён график y = f′(x) − производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
ИЛИ
На рисунке изображён график у = f′(х) – производной функции f(х). На оси абсцисс отмечены 10 точек: х1, х2, x3, x4, x5, х6, х7, х8, х9‚ х10. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(х)?
ИЛИ
На рисунке изображён график y = f′(x) − производной функции f(x), определённой на интервале (−11; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6; 4].
ИЛИ
На рисунке изображён график y = f′(x) − производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−2; 15].
ИЛИ
На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
ИЛИ
На рисунке изображён график дифференцируемой функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, … x9. 
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
Задание 8.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки используется линза с фокусным расстоянием f, равным 20 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана – в пределах от 100 до 120 см. изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{f}. На каком наименьшем расстоянии d1 (в см) от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким?
ИЛИ
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле: f=f_{0}\cdot \frac{c+u}{c-v}, где f0 = 170 Гц – частота исходного сигнала, c – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 2 м/с и v = 17 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.
ИЛИ
К источнику с ЭДС E = 95 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле U=\frac{ER}{R+r}. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 90 В? Ответ дайте в омах.
ИЛИ
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v=c\cdot \frac{f–f_{0}}{f+f_{0}}, где с = 1500 м/с – скорость звука в воде, f0 − частота испускаемых импульсов (в МГц), f − частота отражённого сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.
ИЛИ
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 292 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v)=\frac{f_{0}}{1–\frac{v}{c}}, где c – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ выразите в м/с.
ИЛИ
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом и R2 Ом их общее сопротивление дается формулой R_{общ}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.
Задание 9.
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
ИЛИ
Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
ИЛИ
Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
ИЛИ
Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Задание 10.
На рисунке изображён график функции f(x) = 5x + 9 и g(x) = ax2 + bx + c, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
ИЛИ
На рисунке изображён график функции f(x) = \frac{k}{x} и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках А и В. Найдите ординату точки В.
ИЛИ
На рисунке изображены графики функций видов f(x) = a√x и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ИЛИ
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Задание 11.
Найдите наименьшее значение функции у = x√x – 6x + 11 на отрезке [0; 30].
ИЛИ
Найдите точку максимума функции y = 15 + 21x – 4x√x.
ИЛИ
Найдите точку минимума функции y = x^{\frac{3}{2}} – 18х + 29.
Задание 12.
а) Решите уравнение 2cos3x = √3sin2x + 2cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–3π; -\frac{5\pi}{2}].
ИЛИ
а) Решите уравнение 2sin3x = √2cos2x + 2sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; -\frac{5\pi}{2}].
ИЛИ
а) Решите уравнение cosx·cos2x = √3sin2x + cosx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; \frac{5\pi}{2}].
ИЛИ
а) Решите уравнение sinx·cos2x + sinx = √3cos2x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; \frac{5\pi}{2}].
ИЛИ
а) Решите уравнение 4sin3x = 3cos(x – \frac{\pi}{2}).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}].
Задание 13.
Дана прямая призма ABCA1B1C1 в основании которой лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB = 3:1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро PQ, если AA1 = 5, AB = 12, cos ∠ABC = \frac{3}{5}.
ИЛИ
В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АБСD с основаниями AD = 5 и ВС = 3. Точка М делит ребро A1D1 в отношении АM:МD1 = 2:3, а точка К – середина ребра DD1.
а) Докажите, что плоскость МКС параллельна прямой BD.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью МКС и плоскостью основания призмы, если ∠МКС = 90°, ∠ADC = 60°.
ИЛИ
В основании прямой призмы ABCА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Точка Р делит ребро АВ в отношении АР: РВ = 1:3, а точка Q – середина ребра A1C1. Через середину М ребра ВС провели плоскость α, перпендикулярную отрезку РQ.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро АС пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок А1С1, считая от точки А1, если известно, что АВ = АА1‚ АВ: ВС = 2:7.
ИЛИ
В основании прямой призмы АВСDА1В1С1D1, лежит параллелограмм АВСD с углом 60° при вершине А. На ребрах А1В1, В1С1 и ВС отмечены точки М, К и N соответственно так, что четырехугольник АМКN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка М – середина ребра А1В1.
б) Найдите высоту призмы, если ее объем равен 16 и известно, что точка К делит ребро В1С1 в отношении В1К:КС1 = 1:3.
ИЛИ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка М является серединой ребра ВВ1, а точка N – середина ребра А1С1. Плоскость α, параллельная прямым АМ и В1М, проходит через середину отрезка ММ.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка В1М.
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью α‚ если все ребра призмы имеют длину 4.
Задание 14.
Решите неравенство (log20,25(x + 3) – log4(x2 + 6x + 9) + 1)·log4(x + 2) ≤ 0.
ИЛИ
Решите неравенство log4 ((x – 5)(x2 – 2x – 15)) + 1 ≥ 0,5log2 (x – 5)2.
ИЛИ
Решите неравенство log\frac{1}{2} (x3 – 3x2 – 9x + 27) ≤ log\frac{1}{4} (x – 3)4.
ИЛИ
Решите неравенство log8 (x3 – 3x2 + 3x – 1) ≥ log2 (x2 – 1) – 5.
ИЛИ
Решите неравенство \frac{log_{3}(3–x)–log_{3}(x+2)}{log_{3}^{2}x^{2}+log_{3}x^{4}+1}\ge 0.
ИЛИ
Решите неравенство \frac{log_{3}x^{2}–log_{5}x^{2}}{log_{15}^{2}(2x^{2}–6x+4,5)+1}\ge 0.
ИЛИ
Решите неравенство log_{3}^{2}(x-4)-log_{3}^{2}(x-6)\le 0.
Задание 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2024, 2025, 2026, 2027 и 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2029, 2030, 2031, 2032 и 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?
ИЛИ
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в 2030 году долг составит 800 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов Долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму кредита. если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 2090 тыс. рублей.
ИЛИ
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1540 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2035 году.
ИЛИ
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с конном предыдущего года:
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же ветчину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году.
ИЛИ
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с конном предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года.
ИЛИ
В июле 2025 года планируется кредит на десять лет в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в 2030 году долг составит 400 тыс. рублей:
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите r, если общая сумма выплат после полною погашения кредита будет равна 1740 тыс. рублей.
Задание 16.
Прямая, перпендикулярная стороне AD ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD в точке N, причем AM:MC = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD = \frac{1}{5}.
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.
ИЛИ
Биссектрисы углов ВАD и ВСD равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке О. Через точку О провели прямую, параллельную основаниям трапеции.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен ее боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если известно, что АО = ОС и данная прямая делит сторону АВ в отношении АМ:МВ = 2:3.
ИЛИ
Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба АВСD, пересекает его диагональ АС в точке M, а диагональ ВD в точке N, причем АМ:MС = 1:2, ВN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая МN делит сторону ромба ВС в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если МN = √6.
ИЛИ
Дана равнобедренная трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Биссектрисы углов В АD и ВСD пересекаются в точке О. На боковых сторонах АВ и СD отмечены точки M и N соответственно так, что АМ = МО, СN = NО.
а) Докажите, точки М, N и О лежат на одной прямой.
б) Найдите АМ:МВ, если известно, что АО = ОС и ВС:АD = 1:7.
ИЛИ
Дан равносторонний треугольник AВС. На стороне АС выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает сторону АВ в точке Е, а сторону ВС в точке К.
а) Докажите, что угол АЕМ равен углу СМК.
б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если AM:CM = 1:4.
ИЛИ
Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции АВСD делит боковую сторону СD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку АМ и делит сторону АВ в отношении АN:NВ = 7:1.
а) Докажите, что прямые ВМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна 4√55 .
Задание 17.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (xy-x+8)\cdot \sqrt{y-x+8}=0 \\ y=2x+a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (xy-x+7)\cdot (y-x+7)=0 \\ y=3x+a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (x^{2}-6x-y+2)\cdot \sqrt{x-y+2}=0 \\ y=ax+a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (x^{2}+y^{2}+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0 \\ y=ax-2a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (x^{2}-2x-y+2)\cdot \sqrt{x-y+2}=0 \\ y=4x+a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (|x+2|+|x-1|-y)\cdot \sqrt{10-x-y}=0 \\ y=x+a \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
\begin{cases} (xy-2x+16)\cdot \sqrt{y-2x+16}=0 \\ y=ax-14 \end{cases}
система уравнений имеет ровно 2 решения.
Задание 18.
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A = B·C, если A > 140.
б) Может ли быть верным уравнение A = B·C, если 440 ≤ A < 500.
в) Найдите наибольшее число A ≤ 900 для которого выполняется A = B·C.
ИЛИ
На столе лежат три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных на карточках цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трёх карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно, что такое же, что и Петя).
а) Может ли быть верным равенство А = В + С, если А >150?
б) Может ли быть верным равенство А = В + С, если числа В и С делятся на 9?
в) Найдите наименьшее число А, для которого может быть верным равенство А = В + С.
ИЛИ
В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46%.
а) Может ли в этом классе быть 9 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 55% девочек, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
ИЛИ
Для чисел А и В, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S – сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел А = 123 и В = 579 получается сумма S = 1·5 + 2·7 + 3·9 = 46.
а) Существуют ли трёхзначные числа А и В. для которых S = 100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых S = 400?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой дзя некоторых четырёхзначных чисел А и В?
ИЛИ
Из пары натуральных чисел (а;b) за один ход можно получить пару (а+2;b–1) или (а–1;b+2), при условии, что оба числа в новой парс положительны. Сначала есть пара (7;11).
а) Можно ли за 20 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 50?
б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 50?
ИЛИ
Из пары натуральных чисел (a; b), где а > b, за один ход получают пару (а+b; а–b).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой равно 200?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)?
в) Какое наименьшее а может быть в паре (а; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370)?
ИЛИ
Из правильной дроби \frac{a}{b}, где a и b – натуральные числа, за один ход получают дробь \frac{a+b}{2a+b}.
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби \frac{2}{3} получить дробь \frac{29}{41}?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь \frac{6}{7}?
в) Несократимая дробь \frac{c}{d} меньше 0,7. Найдите наибольшую дробь \frac{c}{d}, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за 2 таких хода.
или
в) Несократимая дробь \frac{c}{d} больше 0,7. Найдите наименьшую дробь \frac{c}{d}, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за 2 таких хода.
Источники заданий варианта: школа Пифагора, Ольга Себедаш, беседы и комментарии vk.com.