Решение №980 Найдите наибольшее значение функции f(x) = cos2 x + sin x

Решение:

    Найдем производную функции:

f′(x) = 2cos x·(cos x)′ + cos x = – 2cos x·sin x + cos x

    Найдем нули производной:

– 2cos x·sin x + cos x = 0
cos x·(–2sin x + 1) = 0
cos x = 0
x=\frac{\pi}{2}+\pi n
∉ нет точек на отрезке [0;\frac{\pi}{4}]
или
– 2sin x + 1 = 0
sinx=\frac{1}{2}\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n
∉ нет точек на отрезке [0;\frac{\pi}{4}]
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\frac{\pi}{6}

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума x=\frac{\pi}{6}, там и будет наибольшее значение функции.

f(\frac{\pi}{6}) = cos² \frac{\pi}{6} + sin \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=1,25

Ответ: 1,25.