Решение №975 В равнобедренную трапецию вписана окружность.

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Известно, что боковая сторона трапеции точкой касания делится на отрезки длиной 4 и 1. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

BC = 1 + 1 = 2
AD = 4 + 4 = 8
$AH_{1}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{8-2}{2}=3$

Из прямоугольного ΔАВH₁ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции BH₁:

BH₁² = AB² – AH₁²
BH₁² = (4 + 1)² – 3² = 5² – 9 = 25 – 9 = 16
BH₁ = √16 = 4

Найдём площадь трапеции:

$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH_{1}=\frac{8+2}{2}\cdot 4=5\cdot 4=20$

Ответ: 20.