Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7, а боковое ребро 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.

Решение:

    Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная к основанию.

Решение №787 Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7 ...

    По теореме Пифагора найдём половину стороны основания:

HB2 = BS2HS2
HB2 = 72 – (2√7)2
HB2 = 49 – 28 = 21
HB = √21

    Тогда вся сторона основания равна 2√21.

Решение №787 Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7 ...

    По теореме Пифагора найдём медиану и высоту равностороннего треугольника HC:

НС2 = ВС2НВ2
НС2 = 2√212 – √212
НС2 = 84 – 21 = 63
НС = √63 = 3√7

    Медиана равностороннего треугольника проходит через центр треугольника и делится в соотношении 2:1 считая от вершины.
    Тогда OH будет составлять одну третью часть медианы:

blank

Решение №787 Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7 ...

    Угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания – обозначим за α.  
    Рассмотрим ΔSOH он прямоугольный, в нём гипотенуза равна 2√7, а катет√7, т.е. в два раза меньше, значит угол лежащий против этого катета равен 30º, а нужный нам угол α = 180° – (90 + 30) = 60º.

Ответ: 60.