Решение №1425 Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 6 ...

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 6, а радиус окружности, описанной около основания, равен 3.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

Объём правильной шестиугольной пирамиды находится по формуле:

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ocn}\cdot h$

Площадью основания являются 6 равносторонних треугольников со стороной равной радиусу описанной окружности = 3.
Найдём площадь основания:

$S_{ocn}=6\cdot S_{\Delta MOK}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot sin\, 60^{\circ}=27\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Высоту пирамиды h найдём из прямоугольного ΔSOK по теореме Пифагора:

$h=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

Найдём объём пирамиды:

$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{27\cdot 3}{2}= 40,5$

Ответ: 40,5.