Решение №1204 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B, D и середину ребра D1C1 проведена секущая плоскость.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точки B, D и середину ребра D₁C₁ проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если площадь сечения равна 2021 ∙ 3.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

Пусть сторона куба равна а. В сечении получилась равнобедренная трапеция. Найдём основание DB по теореме Пифагора:

$DB=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}$

Найдём основание MN по теореме Пифагора:

$MN=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{2a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Найдём DM по теореме Пифагора:

$DM=\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$

Зная что трапеция DMNB равнобедренная найдём DO:

$DO=\frac{a\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{2}}$

Найдём высоту MO по теореме Пифагора:

$MO=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}a}{2})^{2}-(\frac{a}{2\sqrt{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{8}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{8}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}$

Площадь трапеции DMNB равна:

$S_{DMNB}=\frac{a\sqrt{2}+\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{3a}{2\sqrt{2}}=\frac{\frac{3a}{\sqrt{2}}\cdot 3a}{4\sqrt{2}}=\frac{9a^{2}}{8}$

По условию она равна 2021·3:

$\frac{9a^{2}}{8}=2021\cdot 3$

$3a^{2}=2021\cdot 8$

$a^{2}=\frac{2021\cdot 8}{3}$

Найдём площадь полной поверхности куба:

$S=6a^{2}=6\cdot \frac{2021\cdot 8}{3}=2\cdot 2021\cdot 8=32336$

Ответ: 32336.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Запись опубликована:27.12.2020
Рубрика записиЕГЭ Ларин