Высота правильной треугольной пирамиды в три раза меньше высоты основания пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

Решение №1139 Высота правильной треугольной пирамиды в три раза меньше высоты основания пирамиды.

    Точка Опересечение высот, медиан и биссектрис равностороннего треугольника в основании, а значит и центр вписанной и описанной окружности.
    Тогда ОК и ОС радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. Они равны:

blank

    Найдём СК:

blank

    По условию высоты соотносятся как:

blank

    Найдём ОS:

blank

    Получаем, что в ΔOKS две стороны равны SO = OK, значит треугольник равнобедренный, ещё он прямоугольный тогда угол K равен:

blank

Ответ: 45.