Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Источники: mathege, Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар).

Решение:

    Проведём перпендикуляр (апофему) SG:

Решение №1036 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна ...

    ΔASD равносторонний (∠SAH = ∠SDH = 60°), SHвысота, а значит и медиана AH = HD.
    Из прямоугольного треугольника AHS:

tg60°=\frac{SH}{AH}\\\sqrt{3}=\frac{6}{AH}\\AH=\frac{6{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}
AH = HD = 2√3
AD = AH + HD = 2√3 + 2√3 = 4√3одна из сторон основания пирамиды.

    ΔAHS = ΔGHS (Если катет (SH = 6) и противолежащий ему острый угол (SAH = 60°) одного прямоугольного треугольника (ΔAHS) соответственно равны катету (SH = 6) и противолежащему ему острому углу (SGH = 60°) другого прямоугольного треугольника (ΔGHS), то такие треугольники равны.)
   
Тогда, AH = HG = 2√3, как соответствующие стороны равных треугольников. 
    AB = HG = 2√3вторая сторона основания пирамиды.
   
Объём пирамиды:

V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot AD\cdot AB\cdot HS=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6=2\cdot 8\cdot 3=48

Ответ: 48.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 3.7 / 5. Количество оценок: 95

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.