Найдите значение выражения \frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot sin15°}.
Решение:
Найдём чему равен sin 15°, через формулу понижения степени:
sin^{2}\alpha=\frac{1–cos2\cdot \alpha}{2}\\sin^{2}15°=\frac{1–cos2\cdot 15°}{2}=\frac{1–cos30°}{2}=\frac{1–\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\frac{2–\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2–\sqrt{3}}{4}\\sin15°=\sqrt{\frac{2–\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2–\sqrt{3}}}{2}
Подставляем в начальное выражение:
\frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot sin15°}=\frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2–\sqrt{3}}}{2}}=\frac{4\cdot 2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2–\sqrt{3}}}=\frac{8}{\sqrt{4–3}}=\frac{8}{1}=8
Ответ: 8.