Решение и ответы заданий Варианта №1 из сборника ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 10 вариантов ФИПИ. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задания №14,17,18,19 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sinA = 0,28. Найдите AC.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} и 2\overrightarrow{b}
Задание 3.
В цилиндрический сосуд налили 2100 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Задание 4.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 5 из Японии, 4 из Кореи, 9 из Китая и 7 из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий третьим, окажется из Индии.
Задание 5.
На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берутся два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Задание 6.
Найдите корень уравнения 3^{log_{27}(8x+4)}=4.
Задание 7.
Найдите значение выражения (85)3:(42)9.
Задание 8.
На рисунке изображен график y = f′(x) − производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Задание 9.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − \sqrt{2gH_{0}}kt + \frac{g}{2}k2t2, где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 5 м – начальная высота столба воды, k = \frac{1}{700} – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а q – ускорение свободного падения (считайте q = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Задание 10.
Первая труба пропускает на 4 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 621 литров она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 486 литров?
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = ax + b. Найдите f(11).
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции y = (x2 − 10x + 10)∙e2−x на отрезке [–1; 7].
Задание 13.
а) Решите уравнение sinx·cos2x – √3cos2x + sinx = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2};4\pi].
Задание 14.
В основании прямой призмы ABCDAlB1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах А1В1, В1С1 и ВС отмечены точки М, К и N соответственно, причём В1К:КС1 = 1:3. Четырёхугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N – середина ребра ВС.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Задание 15.
Решите неравенство 2^{–2\sqrt{x}}+32\cdot 10^{2–\sqrt{x}}>2^{9–2\sqrt{x}}+625\cdot 10^{-2–\sqrt{x}}.
Задание 16.
В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого годя необходимо оплатить одним платежом часть долга
– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2037 года долг должен быть выплячен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Задание 17.
Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба ABCD, пересекает его диагональ АС в точке М, а диагональ BD в точке N, причём AM:МС = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба ВС в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = √12.
Задание 18.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases} (xy–3x+9)\cdot \sqrt{y–3x+9}=0, \\ y=4x+a \end{cases}
имеет ровно два различных решения.
Задание 19.
В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.
а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2024. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 10 вариантов.